Número de Biot no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

O Número de Biot (Bi) é um parâmetro adimensional e fornece um índice simples da razão entre o coeficiente de transferência convectiva de calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido, a razão das resistências dentro de e na superfície de um corpo.

Esta razão determina se ou não as temperaturas dentro de um corpo variam significativamente no espaço, enquanto o corpo se aquece ou arrefece ao longo do tempo, a partir de um gradiente térmico aplicado à sua superfície.

É usado em cálculos de transferência térmica em estado não estacionário (ou transiente). É nomeado em honra ao físico francês Jean-Baptiste Biot (1774–1862).

A hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência convectiva de calor.

Definição[editar | editar código-fonte]

O número de Biot é definido como:

\mathrm {Bi} ={\frac {hL_{c}}{\ k_{b}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde:

h = coeficiente de filme, coeficiente de transferência térmica ou coeficiente convectivo de transferência de calor.
L_C = comprimento característico, o qual é comumente definido como o volume do corpo dividido pela área da superfície do corpo, tal que

{L_{C}}={\frac {V_{\rm {volume}}}{A_{\rm {superficie}}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Lc = V/A (volume/área)
k_b = coeficiente condutivo de calor do corpo

O número de Biot é usado para definir o método a ser utilizado na solução de problemas de transferência de calor transiente.

Se Bi > 0,1 : usa-se as cartas de temperatura transiente
Se Bi < 0,1 : usa-se a análise

Em geral, problemas envolvendo pequenos números de Biot (muito menores que 1) são termicamente simples, devido a campos de temperatura uniformes dentro do corpo. Números de Biot muito maiores que 1 apontam problemas de maior dificuldade devido a não uniformidade dos campos de temperatura dentro do objeto.

O número de Biot tem uma variedade de aplicações, incluindo o uso em cálculos de transferência de calor em superfícies estendidas. O significado físico do número de Biot pode ser razoavelmente compreendida imaginando-se o fluxo de calor a partir de uma pequena esfera de metal quente, repentinamente imerso em uma piscina, para o fluido circundante. O fluxo de calor experimenta duas resistências: a primeira dentro do metal sólido (a qual é influenciada tanto pelo tamanho como pela composição da esfera), e o segundo na superfície da esfera. Se a resistência térmica da interface fluido/esfera excede aquela resistência térmica oferecida pelo interior da esfera metálica, o número de Biot será menor que um. Para sistemas onde é muito inferior a um, o interior da esfera pode ser presumido como sempre tendo a mesma temperatura, embora esta temperatura possa estar mudando, na medida em que o calor passa para a superfície da esfera. A equação para descrever essa mudança de (relativamente uniforme) temperatura dentro do objeto, é uma exponencial simples descrita na lei de Newton do resfriamento.

Em contrapartida, a esfera de metal pode ser grande, fazendo com que o comprimento característico aumente a tal ponto que o número de Biot é maior que um. Agora, gradientes térmicos dentro da esfera tornam-se importantes, apesar de o material da esfera ser um bom condutor. Equivalentemente, se a esfera é feita de um material isolante (pobremente condutivo), tal como madeira ou "isopor", a resistência interna ao fluxo de calor vai superar a da contorno fluido/esfera, mesmo com uma esfera muito menor. Neste caso, novamente, o número de Biot será maior do que um.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Valores do número de Biot menores que 0,1 implicam que a condução de calor dentro do corpo é muito mais rápida que a convecção de calor a partir de sua superfície, e gradientes de temperatura são negligenciáveis dentro dele. Isto pode indicar a aplicabilidade (ou inaplicabilidade) de certos métodos de resolver problemas de transferência de calor transiente. Por exemplo, um número de Biot menor que 0,1 indica tipicamente que 5% de erro irá estar presente quando presupõe-se um modelo discreto de capacitância de transferência de calor transiente (também chamado de análise discreta de sistema).^[1]^[2] Normalmente este tipo de análise leva a um comportamento exponencial simples de aquecimento ou resfriamento (aquecimento ou resfriamento "Newtonianos") uma vez que a quantidade de energia térmica (vulgarmente, quantidade de "calor") no corpo é diretamente proporcional a sua temperatura, a qual por sua vez determina a taxa de transferência de calor para dentro ou para fora dele. Isso leva a uma simples equação diferencial de primeira ordem que descreve a transferência de calor nestes sistemas.

Tendo-se um número de Biot menor que 0,1 caracteriza uma substância como "termicamente fina", e o calor pode ser considerado constante em todo o volume do material. O oposto é também verdadeiro: Um número de Biot maior que 0,1 (uma substância a "termicamente espessa") indica que não pode-se fazer esta presuposição, e equações de transferência de calor mais complicadas para "transferência de calor transiente" irão ser requeridas para descrever o campo de temperatura variante no tempo e não espacialmente uniforme dentro do corpo material.^[3]

Análogo para a transferência de massa[editar | editar código-fonte]

Uma versão análoga do número de Biot (usualmente chamado o "número de Biot de transferência de massa", ou

\mathrm {Bi} _{m}

) é também usado em processos de difusão de massa:

\mathrm {Bi} _{m}={\frac {h_{m}L_{C}}{D_{AB}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde:

h_m - coeficiente de película de transferência de massa
L_C - comprimento característico
D_AB - difusividade de massa.

O número de Biot de transferência de massa pode ser interpretado como a razão entre a resistência interna e a resistência externa à transferência de massa por difusão.^[4]^[5] Quanto maior o valor de

\mathrm {Bi} _{m}

, menor será a influência da resistência externa sobre o mecanismo de difusão. Se Bi > 200, o erro relativo no cálculo do coeficiente de difusão, devido ao fato de se desprezar a resistência externa, é considerado menor do que 1%.^[6]

Este número adimensional específico é muito importante na indústria de produção de alimentos, como por exemplo, para ter-se o controle da quantidade de cloreto de sódio retida em determinados produtos, como o queijo.^[7]

Em física e engenharia, o número de Fourier (Fo) ou módulo de Fourier, em homenagem a Joseph Fourier, é um número adimensional que caracteriza a condução de calor. Conceptualmente, é o rácio entre a taxa de condução de calor para a taxa de armazenamento de energia térmica. É um número adimensional, que tal como o número de Biot, que caracteriza os problemas de condução transiente, sendo definido como:^[1]

{\mbox{Fo}}={\frac {\alpha t}{R^{2}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde,

α representa a difusividade térmica [m²/s]
t é o tempo característico [s]
R é o comprimento onde ocorre a difusão [m]

Em física, a equação do calor é um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos. Este modelo consiste em um equação de derivadas parciais que muitas vezes é também chamada de equação da difusão (térmica).

A equação do calor prediz que se um corpo a uma temperatura T é submerso em um recipiente com água a menor temperatura, a temperatura do corpo diminuirá, e finalmente (teoricamente depois de um tempo infinito, e sempre que não existam fontes de calor externas) a temperatura do corpo e a da água serão iguais (estarão em equilíbrio térmico).

Existem diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, e é escrita:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Aqui,

u=u(x,y,z,t)\,

representa o campo de temperaturas e é a função incógnita.

\eta \,

é o coeficiente de difusão térmica.

Na presença de fontes de calor, a equação toma a seguinte forma:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f({\vec {x}},t)

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

sexta-feira, 13 de setembro de 2019

Definição[editar | editar código-fonte]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Análogo para a transferência de massa[editar | editar código-fonte]